BZOJ 3884: 上帝与集合的正确用法

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：
第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。
第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。
第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。
第四天， 上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有 16 种不同的“γ”。
如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有 65536 种，第五种元素将会有 2^65536 种。这将会是一个天文数字。
然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……
然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。
至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对 p 取模后的值即可。
你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了 10^9 次元素，或 10^18 次，或者干脆 ∞ 次。
一句话题意：

Input

接下来 T 行，每行一个正整数 p，代表你需要取模的值

Output

T 行，每行一个正整数，为答案对 p 取模后的值

Sample Input

3
2
3
6

Sample Output

0
1
4

HINT

对于 100%的数据，T<=1000,p<=10^7

Solution

首先考虑欧拉定理，如果把这个数设为 $S$，可以发现 $2^S=2^{S \bmod \varphi(p)}$ （当 $p$ 是 2 的倍数时可以先除去所有 2 处理）。
那么问题就转化为了求 $S \bmod\ \varphi(p)$，同样考虑，最终 $\varphi(p)$ 会等于 1，直接处理即可。
由于除了第一次，每次都会除去至少一个 2，所以单次时间复杂度为 $O(\log p)$。

Code

#include<cstdio>

#define pmax 10000000
int prime[1000000],pm,fi[pmax+1],ans[pmax+1];
bool np[pmax+1],ga[pmax+1];

inline int pow(int a,long long t,int mod)
{
    long long p=1,q=a,f=1;
    for(;f<=t;f<<=1)
    {
        if(f&t)p=p*q%mod;
        q=q*q%mod;
    }
    return p;
}

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
}

inline int gen(int x,int t)
{
    if(x==1)return 0;
    int a,b,p;
    if(x>t)exgcd(x,t,a,b);else exgcd(t,x,b,a);
    p=(long long)ans[x]*t%(x*t)*b%(x*t);
    if(p<0)p+=x*t;
    return p;
}

int getans(int x)
{
    int t=1;
    while(~x&1)x>>=1,t<<=1;
    if(!ga[x])ga[x]=1,ans[x]=pow(2,1000ll*fi[x]+getans(fi[x]),x);
    return gen(x,t);
}

int main()
{
    for(int i=2;i<=pmax;i++)
    {
        if(!np[i])prime[pm++]=i,fi[i]=i-1;
        for(int j=0;j<pm&&i*prime[j]<=pmax;j++)
        {
            np[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j])
            {
                fi[i*prime[j]]=fi[i]*(prime[j]-1);
            }
            else
            {
                fi[i*prime[j]]=fi[i]*prime[j];
                break;
            }
        }
    }
    ga[1]=1,ans[1]=0;
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%d\n",getans(n));
    }
}

日期： 2016-10-16

标签： BZOJ 数论

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